編程3d粒子碰撞

Question

我在我的代碼中有一個部分，我有兩個粒子在彈性碰撞中相撞。我知道這兩個粒子的質量和半徑。我知道兩個粒子碰撞時的中心點。我知道這兩個粒子的速度（包括方向）。我想知道的是碰撞後兩個粒子的速度（包括方向），我想以有效的方式計算它。我知道這比一個計算機編程更像一個物理問題，但程序員似乎總是能找到最有效的方式做事。我用C++編程。我希望能得到任何幫助，甚至只是指引我朝着正確的方向前進。感謝您的幫助！

Answer 1

我推薦你這個皮克斯發佈的paper。它是關於剛體的模擬，幷包含一些代碼，以便您可以嘗試一下！ :-)

Here您還可以下載一些C++ - 處理3D運動的代碼。

Answer 2

確切的解決方案可以通過數學軟件（Mathematica，sagemath..etc）來解決。在這裏我使用了python軟件包sympy。該算法使用Gröbner基和Buchberger算法，它可以求解多項式方程組。

彈性碰撞的方程式爲1）動量守恆，每一個維度2）能量守恆。 3）第一顆粒的碰撞後的速度是在一個指定的單位矢量

方程看起來像這樣的方向：

爲uij：碰撞前的第i個粒子的速度的第j個分量。
vij：碰撞後第i個粒子速度的第j個分量。
N：所述單位矢量指向在第一粒子的速度的方向後碰撞
噸：第一粒子的速度的碰撞後的大小
米：質量

from sympy import * 

u11,u12,u13 = symbols('u11 u12 u13') 
u21,u22,u23 = symbols('u21 u22 u23') 
v11,v12,v13 = symbols('v11 v12 v13') 
v21,v22,v23 = symbols('v21 v22 v23') 
n1,n2,n3,t= symbols('n1 n2 n3 t') 
m1,m2 = symbols('m1 m2') 


p1 = m1*u11 +m2*u21 - m1*v11 -m2*v21 
p2 = m1*u12 +m2*u22 - m1*v12 -m2*v22 
p3 = m1*u13 +m2*u23 - m1*v13 -m2*v23 

e = m1*(u11**2+ u12**2 +u13**2) + m2*(u21**2+ u22**2+ u23**2) \ 
-(m1*(v11**2+ v12**2 +v13**2) + m2*(v21**2+ v22**2+ v23**2)) 

d1 =v11 - t*n1 
d2 =v12 - t*n2 
d3 =v13 - t*n3 


s = solve([p1,p2,p3,e,d1,d2,d3], v11,v12,v13,v21,v22,v23,t, set=True) 

的解決方案是：[噸，V11，V12，V13，V21，V22，V23]

2*sqrt(-m1**2*n1**2*u12**2 - m1**2*n1**2*u13**2 + 2*m1**2*n1*n2*u11*u12 + 2*m1**2*n1*n3*u11*u13 - m1**2*n2**2*u11**2 - m1**2*n2**2*u13**2 + 2*m1**2*n2*n3*u12*u13 - m1**2*n3**2*u11**2 - m1**2*n3**2*u12**2 - 2*m1*m2*n1**2*u12*u22 - 2*m1*m2*n1**2*u13*u23 + 2*m1*m2*n1*n2*u11*u22 + 2*m1*m2*n1*n2*u12*u21 + 2*m1*m2*n1*n3*u11*u23 + 2*m1*m2*n1*n3*u13*u21 - 2*m1*m2*n2**2*u11*u21 - 2*m1*m2*n2**2*u13*u23 + 2*m1*m2*n2*n3*u12*u23 + 2*m1*m2*n2*n3*u13*u22 - 2*m1*m2*n3**2*u11*u21 - 2*m1*m2*n3**2*u12*u22 + m2**2*n1**2*u11**2 - 2*m2**2*n1**2*u11*u21 + m2**2*n1**2*u12**2 - 2*m2**2*n1**2*u12*u22 + m2**2*n1**2*u13**2 - 2*m2**2*n1**2*u13*u23 + m2**2*n1**2*u21**2 + 2*m2**2*n1*n2*u21*u22 + 2*m2**2*n1*n3*u21*u23 + m2**2*n2**2*u11**2 - 2*m2**2*n2**2*u11*u21 + m2**2*n2**2*u12**2 - 2*m2**2*n2**2*u12*u22 + m2**2*n2**2*u13**2 - 2*m2**2*n2**2*u13*u23 + m2**2*n2**2*u22**2 + 2*m2**2*n2*n3*u22*u23 + m2**2*n3**2*u11**2 - 2*m2**2*n3**2*u11*u21 + m2**2*n3**2*u12**2 - 2*m2**2*n3**2*u12*u22 + m2**2*n3**2*u13**2 - 2*m2**2*n3**2*u13*u23 + m2**2*n3**2*u23**2)/(2*m1*n1**2 + 2*m1*n2**2 + 2*m1*n3**2 + 2*m2*n1**2 + 2*m2*n2**2 + 2*m2*n3**2) + (m1*n1*u11 + m1*n2*u12 + m1*n3*u13 + m2*n1*u21 + m2*n2*u22 + m2*n3*u23)/((m1 + m2)*(n1**2 + n2**2 + n3**2)) 


n1*(m1*n1*u11 + m1*n2*u12 + m1*n3*u13 + m2*n1*u21 + m2*n2*u22 + m2*n3*u23 + sqrt(-m1**2*n1**2*u12**2 - m1**2*n1**2*u13**2 + 2*m1**2*n1*n2*u11*u12 + 2*m1**2*n1*n3*u11*u13 - m1**2*n2**2*u11**2 - m1**2*n2**2*u13**2 + 2*m1**2*n2*n3*u12*u13 - m1**2*n3**2*u11**2 - m1**2*n3**2*u12**2 - 2*m1*m2*n1**2*u12*u22 - 2*m1*m2*n1**2*u13*u23 + 2*m1*m2*n1*n2*u11*u22 + 2*m1*m2*n1*n2*u12*u21 + 2*m1*m2*n1*n3*u11*u23 + 2*m1*m2*n1*n3*u13*u21 - 2*m1*m2*n2**2*u11*u21 - 2*m1*m2*n2**2*u13*u23 + 2*m1*m2*n2*n3*u12*u23 + 2*m1*m2*n2*n3*u13*u22 - 2*m1*m2*n3**2*u11*u21 - 2*m1*m2*n3**2*u12*u22 + m2**2*n1**2*u11**2 - 2*m2**2*n1**2*u11*u21 + m2**2*n1**2*u12**2 - 2*m2**2*n1**2*u12*u22 + m2**2*n1**2*u13**2 - 2*m2**2*n1**2*u13*u23 + m2**2*n1**2*u21**2 + 2*m2**2*n1*n2*u21*u22 + 2*m2**2*n1*n3*u21*u23 + m2**2*n2**2*u11**2 - 2*m2**2*n2**2*u11*u21 + m2**2*n2**2*u12**2 - 2*m2**2*n2**2*u12*u22 + m2**2*n2**2*u13**2 - 2*m2**2*n2**2*u13*u23 + m2**2*n2**2*u22**2 + 2*m2**2*n2*n3*u22*u23 + m2**2*n3**2*u11**2 - 2*m2**2*n3**2*u11*u21 + m2**2*n3**2*u12**2 - 2*m2**2*n3**2*u12*u22 + m2**2*n3**2*u13**2 - 2*m2**2*n3**2*u13*u23 + m2**2*n3**2*u23**2))/(m1*n1**2 + m1*n2**2 + m1*n3**2 + m2*n1**2 + m2*n2**2 + m2*n3**2) 


n2*(m1*n1*u11 + m1*n2*u12 + m1*n3*u13 + m2*n1*u21 + m2*n2*u22 + m2*n3*u23 + sqrt(-m1**2*n1**2*u12**2 - m1**2*n1**2*u13**2 + 2*m1**2*n1*n2*u11*u12 + 2*m1**2*n1*n3*u11*u13 - m1**2*n2**2*u11**2 - m1**2*n2**2*u13**2 + 2*m1**2*n2*n3*u12*u13 - m1**2*n3**2*u11**2 - m1**2*n3**2*u12**2 - 2*m1*m2*n1**2*u12*u22 - 2*m1*m2*n1**2*u13*u23 + 2*m1*m2*n1*n2*u11*u22 + 2*m1*m2*n1*n2*u12*u21 + 2*m1*m2*n1*n3*u11*u23 + 2*m1*m2*n1*n3*u13*u21 - 2*m1*m2*n2**2*u11*u21 - 2*m1*m2*n2**2*u13*u23 + 2*m1*m2*n2*n3*u12*u23 + 2*m1*m2*n2*n3*u13*u22 - 2*m1*m2*n3**2*u11*u21 - 2*m1*m2*n3**2*u12*u22 + m2**2*n1**2*u11**2 - 2*m2**2*n1**2*u11*u21 + m2**2*n1**2*u12**2 - 2*m2**2*n1**2*u12*u22 + m2**2*n1**2*u13**2 - 2*m2**2*n1**2*u13*u23 + m2**2*n1**2*u21**2 + 2*m2**2*n1*n2*u21*u22 + 2*m2**2*n1*n3*u21*u23 + m2**2*n2**2*u11**2 - 2*m2**2*n2**2*u11*u21 + m2**2*n2**2*u12**2 - 2*m2**2*n2**2*u12*u22 + m2**2*n2**2*u13**2 - 2*m2**2*n2**2*u13*u23 + m2**2*n2**2*u22**2 + 2*m2**2*n2*n3*u22*u23 + m2**2*n3**2*u11**2 - 2*m2**2*n3**2*u11*u21 + m2**2*n3**2*u12**2 - 2*m2**2*n3**2*u12*u22 + m2**2*n3**2*u13**2 - 2*m2**2*n3**2*u13*u23 + m2**2*n3**2*u23**2))/(m1*n1**2 + m1*n2**2 + m1*n3**2 + m2*n1**2 + m2*n2**2 + m2*n3**2) 


n3*(m1*n1*u11 + m1*n2*u12 + m1*n3*u13 + m2*n1*u21 + m2*n2*u22 + m2*n3*u23 + sqrt(-m1**2*n1**2*u12**2 - m1**2*n1**2*u13**2 + 2*m1**2*n1*n2*u11*u12 + 2*m1**2*n1*n3*u11*u13 - m1**2*n2**2*u11**2 - m1**2*n2**2*u13**2 + 2*m1**2*n2*n3*u12*u13 - m1**2*n3**2*u11**2 - m1**2*n3**2*u12**2 - 2*m1*m2*n1**2*u12*u22 - 2*m1*m2*n1**2*u13*u23 + 2*m1*m2*n1*n2*u11*u22 + 2*m1*m2*n1*n2*u12*u21 + 2*m1*m2*n1*n3*u11*u23 + 2*m1*m2*n1*n3*u13*u21 - 2*m1*m2*n2**2*u11*u21 - 2*m1*m2*n2**2*u13*u23 + 2*m1*m2*n2*n3*u12*u23 + 2*m1*m2*n2*n3*u13*u22 - 2*m1*m2*n3**2*u11*u21 - 2*m1*m2*n3**2*u12*u22 + m2**2*n1**2*u11**2 - 2*m2**2*n1**2*u11*u21 + m2**2*n1**2*u12**2 - 2*m2**2*n1**2*u12*u22 + m2**2*n1**2*u13**2 - 2*m2**2*n1**2*u13*u23 + m2**2*n1**2*u21**2 + 2*m2**2*n1*n2*u21*u22 + 2*m2**2*n1*n3*u21*u23 + m2**2*n2**2*u11**2 - 2*m2**2*n2**2*u11*u21 + m2**2*n2**2*u12**2 - 2*m2**2*n2**2*u12*u22 + m2**2*n2**2*u13**2 - 2*m2**2*n2**2*u13*u23 + m2**2*n2**2*u22**2 + 2*m2**2*n2*n3*u22*u23 + m2**2*n3**2*u11**2 - 2*m2**2*n3**2*u11*u21 + m2**2*n3**2*u12**2 - 2*m2**2*n3**2*u12*u22 + m2**2*n3**2*u13**2 - 2*m2**2*n3**2*u13*u23 + m2**2*n3**2*u23**2))/(m1*n1**2 + m1*n2**2 + m1*n3**2 + m2*n1**2 + m2*n2**2 + m2*n3**2) 


(-m1**2*n1*n2*u12 - m1**2*n1*n3*u13 + m1**2*n2**2*u11 + m1**2*n3**2*u11 + m1*m2*n1**2*u11 - m1*m2*n1*n2*u22 - m1*m2*n1*n3*u23 + m1*m2*n2**2*u11 + m1*m2*n2**2*u21 + m1*m2*n3**2*u11 + m1*m2*n3**2*u21 - m1*n1*sqrt(-m1**2*n1**2*u12**2 - m1**2*n1**2*u13**2 + 2*m1**2*n1*n2*u11*u12 + 2*m1**2*n1*n3*u11*u13 - m1**2*n2**2*u11**2 - m1**2*n2**2*u13**2 + 2*m1**2*n2*n3*u12*u13 - m1**2*n3**2*u11**2 - m1**2*n3**2*u12**2 - 2*m1*m2*n1**2*u12*u22 - 2*m1*m2*n1**2*u13*u23 + 2*m1*m2*n1*n2*u11*u22 + 2*m1*m2*n1*n2*u12*u21 + 2*m1*m2*n1*n3*u11*u23 + 2*m1*m2*n1*n3*u13*u21 - 2*m1*m2*n2**2*u11*u21 - 2*m1*m2*n2**2*u13*u23 + 2*m1*m2*n2*n3*u12*u23 + 2*m1*m2*n2*n3*u13*u22 - 2*m1*m2*n3**2*u11*u21 - 2*m1*m2*n3**2*u12*u22 + m2**2*n1**2*u11**2 - 2*m2**2*n1**2*u11*u21 + m2**2*n1**2*u12**2 - 2*m2**2*n1**2*u12*u22 + m2**2*n1**2*u13**2 - 2*m2**2*n1**2*u13*u23 + m2**2*n1**2*u21**2 + 2*m2**2*n1*n2*u21*u22 + 2*m2**2*n1*n3*u21*u23 + m2**2*n2**2*u11**2 - 2*m2**2*n2**2*u11*u21 + m2**2*n2**2*u12**2 - 2*m2**2*n2**2*u12*u22 + m2**2*n2**2*u13**2 - 2*m2**2*n2**2*u13*u23 + m2**2*n2**2*u22**2 + 2*m2**2*n2*n3*u22*u23 + m2**2*n3**2*u11**2 - 2*m2**2*n3**2*u11*u21 + m2**2*n3**2*u12**2 - 2*m2**2*n3**2*u12*u22 + m2**2*n3**2*u13**2 - 2*m2**2*n3**2*u13*u23 + m2**2*n3**2*u23**2) + m2**2*n1**2*u21 + m2**2*n2**2*u21 + m2**2*n3**2*u21)/(m2*(m1*n1**2 + m1*n2**2 + m1*n3**2 + m2*n1**2 + m2*n2**2 + m2*n3**2)) 


(m1**2*n1**2*u12 - m1**2*n1*n2*u11 - m1**2*n2*n3*u13 + m1**2*n3**2*u12 + m1*m2*n1**2*u12 + m1*m2*n1**2*u22 - m1*m2*n1*n2*u21 + m1*m2*n2**2*u12 - m1*m2*n2*n3*u23 + m1*m2*n3**2*u12 + m1*m2*n3**2*u22 - m1*n2*sqrt(-m1**2*n1**2*u12**2 - m1**2*n1**2*u13**2 + 2*m1**2*n1*n2*u11*u12 + 2*m1**2*n1*n3*u11*u13 - m1**2*n2**2*u11**2 - m1**2*n2**2*u13**2 + 2*m1**2*n2*n3*u12*u13 - m1**2*n3**2*u11**2 - m1**2*n3**2*u12**2 - 2*m1*m2*n1**2*u12*u22 - 2*m1*m2*n1**2*u13*u23 + 2*m1*m2*n1*n2*u11*u22 + 2*m1*m2*n1*n2*u12*u21 + 2*m1*m2*n1*n3*u11*u23 + 2*m1*m2*n1*n3*u13*u21 - 2*m1*m2*n2**2*u11*u21 - 2*m1*m2*n2**2*u13*u23 + 2*m1*m2*n2*n3*u12*u23 + 2*m1*m2*n2*n3*u13*u22 - 2*m1*m2*n3**2*u11*u21 - 2*m1*m2*n3**2*u12*u22 + m2**2*n1**2*u11**2 - 2*m2**2*n1**2*u11*u21 + m2**2*n1**2*u12**2 - 2*m2**2*n1**2*u12*u22 + m2**2*n1**2*u13**2 - 2*m2**2*n1**2*u13*u23 + m2**2*n1**2*u21**2 + 2*m2**2*n1*n2*u21*u22 + 2*m2**2*n1*n3*u21*u23 + m2**2*n2**2*u11**2 - 2*m2**2*n2**2*u11*u21 + m2**2*n2**2*u12**2 - 2*m2**2*n2**2*u12*u22 + m2**2*n2**2*u13**2 - 2*m2**2*n2**2*u13*u23 + m2**2*n2**2*u22**2 + 2*m2**2*n2*n3*u22*u23 + m2**2*n3**2*u11**2 - 2*m2**2*n3**2*u11*u21 + m2**2*n3**2*u12**2 - 2*m2**2*n3**2*u12*u22 + m2**2*n3**2*u13**2 - 2*m2**2*n3**2*u13*u23 + m2**2*n3**2*u23**2) + m2**2*n1**2*u22 + m2**2*n2**2*u22 + m2**2*n3**2*u22)/(m2*(m1*n1**2 + m1*n2**2 + m1*n3**2 + m2*n1**2 + m2*n2**2 + m2*n3**2)) 


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